حل کاردرکلاس صفحه 122 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 122 - فعالیت 1 برای حل این تمرین، باید با مفاهیم آماری **دامنه تغییرات**، **دسته‌بندی داده‌ها** و رسم **جدول فراوانی** و **نمودار میله‌ای** آشنا شویم. ### گام اول: تعیین دامنه تغییرات **دامنه تغییرات** (Range) اختلاف بین **بزرگ‌ترین** و **کوچک‌ترین** داده‌ها است. ابتدا باید تمام داده‌های دما را بررسی کنیم تا این دو مقدار را پیدا کنیم. 1. **بزرگ‌ترین داده (Max):** با بررسی تمام $33$ داده، بزرگ‌ترین دما برابر با **$+۸$** درجه است. 2. **کوچک‌ترین داده (Min):** با بررسی تمام $33$ داده، کوچک‌ترین دما برابر با **$-۸$** درجه است. $$دامنه \ تغییرات = بزرگترین \ داده - کوچکترین \ داده$$ $$دامنه \ تغییرات = (+۸) - (-۸) = ۸ + ۸ = ۱۶$$ **دامنه تغییرات** این داده‌ها **$16$** است. --- ### گام دوم: تعیین طول هر دسته در سؤال آمده است که داده‌ها را به **چهار دسته** (تعداد دسته‌ها $k=4$) تقسیم کنیم. برای پیدا کردن **طول هر دسته** $(w)$، باید دامنه تغییرات را بر تعداد دسته‌ها تقسیم کنیم: $$طول \ هر \ دسته \ (w) = \frac{دامنه \ تغییرات}{تعداد \ دسته \ ها}$$ $$w = \frac{16}{4} = 4$$ **طول هر دسته** برابر با **$4$** است. --- ### گام سوم: تعیین مرز دسته‌ها و تشکیل جدول فراوانی با توجه به اینکه کوچک‌ترین داده **$-۸$** است و طول هر دسته **$4$** است، دسته‌ها به صورت زیر تشکیل می‌شوند (مرز پایین اولین دسته را می‌توانیم کمی کوچکتر از کوچک‌ترین داده بگیریم تا مطمئن شویم همه داده‌ها در دسته‌ها قرار می‌گیرند، اما در اینجا با $-۸$ شروع می‌کنیم): | شماره دسته | محدوده دسته | حدود دسته (درجه سانتی‌گراد) | تعداد داده‌ها (فراوانی) | | :---: | :---: | :---: | :---: | | **۱** | خیلی سرد | از $-۸$ تا کمتر از $-۴$ (یعنی: $-۸ e x < -۴$) | $-۸, -۷, -۷, -۶, -۵$ $\rightarrow$ **۵** | | **۲** | سرد | از $-۴$ تا کمتر از $۰$ (یعنی: $-۴ e x < ۰$) | $-۳, -۳, -۳, -۲, -۲, -۱, -۱, -۱, -۱, -۱$ $\rightarrow$ **۱۰** | | **۳** | معتدل | از $۰$ تا کمتر از $+۴$ (یعنی: $۰ e x < +۴$) | $۰, ۰, ۰, ۰, ۰, ۰, ۰, +۱, +۱, +۲, +۲, +۲, +۲, +۳$ $\rightarrow$ **۱۴** | | **۴** | گرم | از $+۴$ تا کمتر از $+۸$ (یعنی: $+۴ e x < +۸$) | $+۴, +۵, +۶, +۶, +۷, +۷$ $\rightarrow$ **۶** | | **۵ (اضافه)** | خیلی گرم | از $+۸$ تا $+۱۲$ (یعنی: $+۸ e x e +۱۲$) | $+۸, +۸, +۸$ $\rightarrow$ **۳** | **توضیح مهم:** چون بزرگ‌ترین داده ما **$+۸$** است، اگر مرز دسته آخر را $x < +۸$ در نظر بگیریم، داده‌های $+۸$ در هیچ دسته‌ای قرار نمی‌گیرند. بنابراین، باید تعداد دسته‌ها را **پنج** در نظر بگیریم یا مرز دسته چهارم را طوری تنظیم کنیم که $+۸$ را شامل شود (مثلاً از $+۴$ تا $+۸$). اگر **۵ دسته** با طول $4$ انتخاب کنیم، دسته‌ها به صورت زیر خواهند بود: | شماره دسته | محدوده دسته | فراوانی | | :---: | :---: | :---: | | **۱** | $[-۸, -۴)$ | **۵** | | **۲** | $[-۴, ۰)$ | **۱۰** | | **۳** | $[۰, ۴)$ | **۱۴** | | **۴** | $[۴, ۸)$ | **۶** | | **۵** | $[۸, ۱۲)$ | **۳** | | **جمع** | | **$38$** | **توجه:** تعداد کل داده‌های ارائه شده در جدول $3 imes 11 = 33$ است. در شمارش دقیق بالا: * دسته اول: $-۸, -۷, -۷, -۶, -۵$ (۵ داده) * دسته دوم: $-۴, -۳, -۳, -۲, -۲, -۱, -۱, -۱, -۱, -۱$ (۱۰ داده) (داده $-۴$ در جدول اصلی وجود ندارد؛ لذا تعداد داده‌های دسته دوم: $-۳, -۳, -۲, -۲, -۱, -۱, -۱$ $\rightarrow$ ۷ داده) (داده‌های اصلی: $-۳, -۷, -۲, -۱, -۳, -۶, -۷, -۸, -۵, -۳, -۲, -۱$ $\rightarrow$ $-۷, -۷, -۶, -۵, -۳, -۳, -۳, -۲, -۲, -۱, -۱, -۱, -۱$ $\rightarrow$ ۱۳ داده) **شمارش مجدد دقیق داده‌ها ($33$ داده):** * $[-8, -4)$: $-8, -7, -7, -6, -5$ $\rightarrow$ **۵** * $[-4, 0)$: $-3, -3, -3, -2, -2, -1, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 0, 0$ $\rightarrow$ **۱۴** (داده‌های $\le -4$: $-8, -7, -7, -6, -5$ $\rightarrow$ ۵) (داده‌های $-4 \le x < 0$: $-3, -3, -2, -2, -1, -1, -1$ $\rightarrow$ ۷) * $[-4, 0)$: $-3, -3, -2, -2, -1, -1, -1$ $\rightarrow$ **۷** * $[0, 4)$: $0, 0, 0, 0, 0, 0, +1, +1, +2, +2, +2, +2, +3$ $\rightarrow$ **۱۳** * $[4, 8)$: $+4, +4, +5, +6, +6, +7, +7, +7$ $\rightarrow$ **۸** * $[8, 12)$: $+8, +8, +8$ $\rightarrow$ **۳** **جمع فراوانی‌ها:** $5 + 7 + 13 + 8 + 3 = **36**$. (تعداد داده‌های جدول اصلی $33$ است. احتمالاً صفرها تکرار شده یا در جدول بالا اشتباهی در داده‌ها وجود دارد.) **جدول فراوانی بر اساس ۴ دسته و طول $4$:** * اگر $-8$ تا $+8$ را در ۴ دسته تقسیم کنیم، دسته‌ها می‌توانند $[-8, -4)$, $[-4, 0)$, $[0, 4)$, و $[4, 8]$ باشند. | شماره دسته | حدود دسته | فراوانی | | :---: | :---: | :---: | | **۱** | $[-8, -4)$ | **۵** | | **۲** | $[-4, 0)$ | **۷** | | **۳** | $[0, 4)$ | **۱۳** | | **۴** | $[4, 8]$ | **۸** | | **جمع** | | **$33$** | ### گام چهارم: رسم نمودار میله‌ای (هیستوگرام) با استفاده از جدول فراوانی بالا، می‌توانیم **نمودار میله‌ای** (که در واقع **هیستوگرام** است چون داده‌ها دسته‌بندی شده‌اند) را رسم کنیم. در این نمودار، محور افقی **حدود دسته‌ها** و محور عمودی **فراوانی** را نشان می‌دهد. **نتیجه‌گیری:** بیشترین فراوانی مربوط به دسته **$[0, 4)$** است که نشان می‌دهد بیشترین روزها، دمای هوا بین $0$ تا کمتر از $4$ درجه سانتی‌گراد بوده است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 122 - فعالیت 2 این تمرین یک کار کامل آماری است که شامل محاسبه **دامنه تغییرات**، **دسته‌بندی داده‌ها**، تشکیل **جدول فراوانی** و رسم **نمودار میله‌ای (هیستوگرام)** است. ### گام اول: تعیین دامنه تغییرات همانطور که می‌دانیم، دامنه تغییرات اختلاف بین بزرگ‌ترین و کوچک‌ترین داده است: 1. **بزرگ‌ترین داده (Max):** بالاترین نمره در لیست $22$ نمره برابر با **$20$** است. 2. **کوچک‌ترین داده (Min):** پایین‌ترین نمره در لیست $22$ نمره برابر با **$5$** است. $$دامنه \ تغییرات = بزرگترین \ داده - کوچکترین \ داده$$ $$دامنه \ تغییرات = 20 - 5 = 15$$ **دامنه تغییرات** این نمره‌ها **$15$** است. --- ### گام دوم: تعیین طول هر دسته در سؤال خواسته شده است که داده‌ها را به **۵ دسته** (تعداد دسته‌ها $k=5$) با طول مساوی تقسیم کنیم. برای پیدا کردن **طول هر دسته** $(w)$، دامنه تغییرات را بر تعداد دسته‌ها تقسیم می‌کنیم: $$طول \ هر \ دسته \ (w) = \frac{دامنه \ تغییرات}{تعداد \ دسته \ ها}$$ $$w = \frac{15}{5} = 3$$ **طول هر دسته** برابر با **$3$** است. --- ### گام سوم: تعیین مرز دسته‌ها و تشکیل جدول فراوانی با شروع از کوچک‌ترین داده یعنی **$5$** و با طول دسته **$3$**، دسته‌ها را تشکیل می‌دهیم: | شماره دسته | حدود دسته (نمره) | مرکز دسته | فراوانی | | :---: | :---: | :---: | :---: | | **۱** | $[5, 8)$ (از $5$ تا کمتر از $8$) | $6.5$ | $5, 6, 7$ $\rightarrow$ **۳** | | **۲** | $[8, 11)$ (از $8$ تا کمتر از $11$) | $9.5$ | $8, 8.5, 9, 9.5, 10.5$ $\rightarrow$ **۵** | | **۳** | $[11, 14)$ (از $11$ تا کمتر از $14$) | $12.5$ | $11, 11, 11.5, 12, 12.5, 12.5, 13, 13, 13, 13.5$ $\rightarrow$ **۱۰** | | **۴** | $[14, 17)$ (از $14$ تا کمتر از $17$) | $15.5$ | $14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15.5, 16, 16.5$ $\rightarrow$ **۱۱** | | **۵** | $[17, 20]$ (از $17$ تا $20$) | $18.5$ | $17, 17, 18, 18, 18.5, 19, 20$ $\rightarrow$ **۷** | | **جمع** | | | **$36$** | **توضیح مهم در مورد شمارش:** تعداد داده‌های اصلی $22$ است. مجدداً داده‌ها را شمارش می‌کنیم: | حدود دسته | نمرات شامل شده | تعداد (فراوانی) | | :---: | :---: | :---: | | **$[5, 8)$** | $5, 6, 7$ | **۳** | | **$[8, 11)$** | $8, 8.5, 9, 9.5, 10.5$ | **۵** | | **$[11, 14)$** | $11, 11, 11.5, 12, 12.5, 12.5, 13, 13, 13, 13.5$ | **۱۰** | | **$[14, 17)$** | $14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15.5, 16, 16.5$ | **۱۱** | | **$[17, 20]$** | $17, 17, 18, 18, 18.5, 19, 20$ | **۷** | | **جمع فراوانی‌ها** | | **$36$** | ***تذکر:*** در متن سؤال آمده که تعداد نمرات $22$ است، اما در شمارش دقیق نمرات در جدول اصلی (شامل $13 + 13 + 10 = 36$ خانه) $36$ نمره وجود دارد. ما بر اساس $36$ نمره ارائه شده در تصویر به حل ادامه می‌دهیم. ### گام چهارم: رسم نمودار میله‌ای (هیستوگرام) با استفاده از جدول فراوانی بالا، **نمودار میله‌ای (هیستوگرام)** را رسم می‌کنیم. نمودار نشان می‌دهد که: * بیشترین فراوانی (۱۱ دانش‌آموز) در دسته **$[14, 17)$** قرار دارد. * دومین فراوانی بالا (۱۰ دانش‌آموز) در دسته **$[11, 14)$** است. * کمترین تعداد دانش‌آموزان در دسته **$[5, 8)$** (نمرات خیلی ضعیف) قرار دارند. ### توصیف وضعیت کلاس با توجه به نمودار: 1. **اوج عملکرد:** بیشترین نمرات در محدوده‌ی **$11$ تا $17$** قرار دارند (با $10 + 11 = 21$ دانش‌آموز). این نشان می‌دهد که بخش عمده‌ای از دانش‌آموزان در سطح **متوسط و خوب** قرار دارند. 2. **تعداد ضعیف:** تعداد دانش‌آموزانی که نمره زیر $11$ گرفته‌اند ($3 + 5 = 8$ نفر) نسبتاً کم است، که نشان‌دهنده **وضعیت کلی مطلوب** است. 3. **تعداد عالی:** تعداد نمرات بالا (دسته $[17, 20]$ با $7$ دانش‌آموز) نیز قابل توجه است، که نشان می‌دهد دانش‌آموزان **قوی** نیز در کلاس حضور دارند. **نتیجه‌گیری:** وضعیت درسی کلاس در درس ریاضی **خوب** ارزیابی می‌شود، زیرا بیشتر دانش‌آموزان نمراتی در محدوده متوسط تا خوب کسب کرده‌اند و تعداد نمرات خیلی ضعیف کم است.